Stosunek odcinków

Stosunek odcinków

Stosunkiem s dwóch odcinków niezerowych, nazywamy iloraz długości tych odcinków mierzonych tą samą jednostką.

Równania prostej na płaszczyźnie

Równanie ogólne prostej

postać równania l :   Ax + By + C = 0

A , B , C - współczynniki liczbowe równania prostej
gdzie: A, B, CR , A 2 + B 2 > 0

Jeżeli B ≠ 0 ,   to    l :  

Jeżeli B = 0   to    l     (prosta l jest równoległa do OY )

Jeżeli B ≠ 0 i A = 0   to   l      (prosta l jest równoległa do OX )


l :  Ax + By + C = 0
Równanie kierunkowe prostej
postać równania l :  y = ax + b

gdzie:      ,     ,   gdy   B ≠ 0


A, B, C - współczynniki liczbowe równania prostej
w postaci ogólnej.

a = tg α - współczynnik kierunkowy

Równania prostej prostopadłej do osi OX nie można przedstawić w postaci kierunkowej.
Równanie prostej przechodzącej przez punkt  A   płaszczyzny
postać równania l : y - yA = a ( x - xA )
a - współczynnik kierunkowy prostej l 
a = tg α
Równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty  A  i  B płaszczyzny

postać równania prostej l :  



gdy:  

postać równania prostej k :    x = a ,    gdy:  xA = xB = a

Półproste

Półproste

Półprostą o początku A nazywamy każdą z dwóch części prostej, na które punkt A dzieli tę prostą, wraz z tym punktem. Takie dwie półproste nazywamy półprostymi dopełniającymi się.

Jeżeli punkt  A leży między punktami B i C, to:

AB ∩ AC = { A }

AB ∪ AC = l

Półproste dopełniające się - półproste AB i AC

Dwie półproste zgodnie zorientowane - o zgodnym zwrocie -
np. półproste CB i AB lub ED i AC .

Dwie półproste przeciwnie zorientowane,
np. półproste CB i BA lub ED i CB .

Położenie prostych na płaszczyźnie i w przestrzeni

Proste przecinające się

Prostymi przecinającymi się nazywamy proste, które mają dokładnie jeden punkt wspólny.

Proste równoległe

Prostymi równoległymi nazywamy proste, które leżą na jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych albo proste, które się pokrywają.

Proste pokrywające się to proste, które mają wszystkie punkty wspólne.

Proste skośne

Proste l i k w przestrzeni nazywamy skośnymi, jeżeli nie leżą na jednej płaszczyźnie - nie mają punktów wspólnych i nie są równoległe.

Proste leżące na jednej płaszczyźnie mogą być równoległe lub przecinające się.

Proste w przestrzeni mogą być równoległe, przecinające się lub skośne.

Kierunek prostych

Zbiór wszystkich prostych równoległych do prostej l nazywamy kierunkiem prostej l i oznaczamy ( l ).

Pęk prostych

Pękiem prostych o wierzchołku A nazywamy zbiór wszystkich prostych przechodzących przez punkt A i oznaczamy ( A ).

Pojęcie pierwotne i aksjomat

  Pojęcie, które przyjmuje się bez definicji nazywamy pojęciem pierwotnym.

  Pojęcie pierwotne w geometrii, to punkt, prosta, płaszczyzna, przestrzeń.

  Aksjomat to zdanie, którego prawdziwość przyjmuje się bez dowodu.

Przykłady aksjomatów w geometrii płaszczyzny:

- Przez każdy punkt płaszczyzny przechodzi nieskończenie wiele prostych.

- Przez każde dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta.

- Przez punkt nie leżący na prostej l  przechodzi dokładnie jedna prosta k równoległa do prostej l , to tzw. aksjomat Euklidesa.

rownol

Przykłady aksjomatów w geometrii przestrzeni:

- Przez każde dwa punkty przestrzeni przechodzi nieskończenie wiele płaszczyzn.

- Przez każde trzy punkty, nie należące do jednej prostej, przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna.

- Przez punkt nie leżący na płaszczyźnie α przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna β równoległa do płaszczyzny α .