Uwaga! Dział w budowie.

Pojęcie pierwotne i aksjomat

Pojęcie, które przyjmuje się bez definicji nazywamy pojęciem pierwotnym.
Pojęcie pierwotne w geometrii, to punkt, prosta, płaszczyzna, przestrzeń.
Aksjomat to zdanie, którego prawdziwość przyjmuje się bez dowodu.

Przykłady aksjomatów w geometrii płaszczyzny:

rownol- Przez każdy punkt płaszczyzny przechodzi nieskończenie wiele prostych.
- Przez każde dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta.
- Przez punkt nie leżący na prostej l przechodzi dokładnie jedna prosta k równoległa do prostej l , to tzw. aksjomat Euklidesa.
Przykłady aksjomatów w geometrii przestrzeni:

- Przez każde dwa punkty przestrzeni przechodzi nieskończenie wiele płaszczyzn.
- Przez każde trzy punkty, nie należące do jednej prostej, przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna.
- Przez punkt nie leżący na płaszczyźnie α przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna β równoległa do płaszczyzny α .
 

Figury geometryczne

Figura płaska
Każdy zbiór punktów płaszczyzny nazywamy figurą.
Figura płaska jest ograniczona, gdy istnieje koło, w którym ta figura się zawiera.
Figura płaska jest nieograniczona, gdy nie jest zawarta w żadnym kole.
Figura przestrzenna
Każdy zbiór punktów przestrzeni nazywamy figurą przestrzenną.
Figura przestrzenna jest ograniczona, gdy istnieje kula, w której ta figura się zawiera.
Figura przestrzenna jest nieograniczona, gdy nie jest zawarta w żadnej kuli.
Figura wypukła
Figurę nazywamy wypukłą jeżeli każdy odcinek, którego końce należą do figury zawiera się w tej figurze.
Figury przystające

Figury f1 i f2 nazywamy figurami przystającymi (  f1 f2 ), gdy istnieje izometria przekształcająca figurę  f1
na figurę f2 .

Figury podobne

Figury f1 i f2 nazywamy figurami podobnymi (  f1 ~ f2 ), gdy istnieje podobieństwo przekształcające figurę  f1
na figurę f2 .

 

Współrzędne punktu i odległość między punktami

Współrzędne punktu
punkty oznaczamy : A, B, C ... , A = ( xA ,yA ) - punkt  A o współrzędnych xA , yA.
Na osi: Na płaszczyźnie: W przestrzeni:
Odległość między dwoma punktami
Odległość między dwoma punktami A i B oznaczamy symbolem |AB|
Dla dowolnych punktów A, B, C :  
  |AB|R +{0} |AB|= |BA|
  |AB|= 0 wtedy i tylko wtedy gdy A = B |AB| |AC|+|CB|( nierówność trójkąta )
Punkt C leży między punktami A i B , gdy |AB|= |AC|+|CB|
Trzy punkty A, B, C są współliniowe - to znaczy leżą na jednej prostej - jeśli spełniony jest jeden z trzech warunków:

|AC|= |AB| + |BC|

lub

|AB|= |AC| + |CB|

lub

|BC|= |BA| + |AC|

Odległość punktów w układzie współrzędnych
Na płaszczyźnie: W przestrzeni:
 

Odległość punktu od prostej

Odległość punktu od prostej

Odległość d punktu P od prostej l jest równa odległości tego punktu od jego rzutu prostokątnego P' na prostą l.

Odległość punktu od prostej w układzie współrzędnych na płaszczyźnie
równanie prostej  l : Ax + By + C = 0

gdzie A 2 + B 2 > 0
Jeżeli | P,l | = | PP' | = d , to
 

Równania prostej na płaszczyźnie

Równanie ogólne prostej

postać równania l : Ax + By + C = 0

A, B, C - współczynniki liczbowe równania prostej,
gdzie: A, B, C R , A 2 + B 2 > 0

Jeżeli B ≠ 0 , to l : .
Jeżeli B = 0 , to l : (prosta l jest równoległa do OY )

Jeżeli B0 i A = 0 , to l : (prosta l jest równoległa do OX )



l : Ax + By + C = 0
Równanie kierunkowe prostej
postać równania l : y = ax + b
gdzie: , , gdy B ≠ 0
A, B, C - współczynniki liczbowe równania prostej w postaci ogólnej.
a = tgα - współczynnik kierunkowy
Równania prostej prostopadłej do osi OX nie można przedstawić w postaci kierunkowej.
Równanie prostej przechodzącej przez punkt A płaszczyzny
postać równania l : y − yA = a ( x xA )

a - współczynnik kierunkowy prostej l .

a = tgα
Równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty A i B płaszczyzny
postać równania prostej l :
gdy :
postać równania prostej k : x = a , gdy: xA = xB = a
 

Położenie prostych na płaszczyźnie i w przestrzeni

Proste przecinające się
Prostymi przecinającymi się nazywamy proste, które mają dokładnie jeden punkt wspólny.
Proste równoległe

Prostymi równoległymi nazywamy proste, które leżą na jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych albo proste, które się pokrywają.

Proste pokrywające się to proste, które mają wszystkie punkty wspólne.
Proste skośne

Proste l i k w przestrzeni nazywamy skośnymi, jeżeli nie leżą na jednej płaszczyźnie - nie mają punktów wspólnych i nie równoległe.

Proste leżące na jednej płaszczyźnie mogą być równoległe lub przecinające się.
Proste w przestrzeni mogą być równoległe, przecinające się lub skośne.
Kierunek prostych

Zbiór wszystkich prostych równoległych do prostej l nazywamy kierunkiem prostej l i oznaczamy ( l ).

Pęk prostych

Pękiem prostych o wierzchołku A nazywamy zbiór wszystkich prostych przechodzących przez punkt A i oznaczamy ( A ).

 

Strona 1 z 2

Free business joomla templates

Informujemy, iż w celu optymalizacji treści dostępnych w naszym serwisie, dostosowania ich do Państwa indywidualnych potrzeb korzystamy z informacji zapisanych za pomocą plików cookies na urządzeniach końcowych użytkowników. Pliki cookies użytkownik może kontrolować za pomocą ustawień swojej przeglądarki internetowej. Dalsze korzystanie z naszego serwisu internetowego, bez zmiany ustawień przeglądarki internetowej oznacza, iż użytkownik akceptuje stosowanie plików cookies. Więcej na ten temat można przeczytać w polityce prywatności.